Bentukparabola yang terbentuk sendiri bisa terbuka ke atas/ke bawah ataupun terbuka ke kanan/ke kiri. Hampir sama dengan bentuk elips, bentuk parabola juga terdiri dari dua jenis, yaitu bentuk horizontal dan bentuk vertikal dengan dua letak titik pusat yang berbeda. Nah, berikut persamaan parabola berdasarkan letak titik pusatnya.
Padagambar 2.1 (a) parabola terbuka ke atas, maka fungsi f(x) memiliki nilai minimum. Sebaliknya, pada gambar 2.1 (b) parabola terbuka ke bawah, maka fungsi f(x) memiliki nilai maksimum. Tercapainya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat tergantung pada koefisien (pengali) x 2 , yang penjelasannya adalah sebagai berikut: perhatikan
ο»ΏPersamaanParabola Dengan Puncak Di A (A, B) Seperti yang telah dijelaskan pada artikel sebelumnya, persamaan parabola sanggup ditentukan dengan mengetahui titik puncaknya. Titik puncaknya sanggup berada pada titik O (0, 0) atau sembarang titik lainnya, misalkan titik A (a, b). Untuk persamaan parabola yang berpuncak di O (0, 0) sanggup
d. x2 = 4py β x2 = 6y, maka 4p = 6 β p = 6 4 = 3 2 Parabola ini merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas Koordinat fokus F(0, p) β F(0, 3 2 ) Sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0 Persamaan direktris y = -p β y = - 3 2 Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4. 3 2 = 6
Vay Tiα»n Nhanh Chα» CαΊ§n Cmnd. Grafik persamaan kuadrat dapat disebut sebagai parabola. Pada irisan kerucut, parabola adalah persamaan kurva, di mana sebuah titik pada kurva memiliki jarak yang sama dari garis tetap dan titik tetap pada bidang. Garis tetap dikenal sebagai direktriks parabola, dan titik tetapnya dikenal sebagai fokus parabola. Dengan kata sederhana, parabola disebut sebagai tempat kedudukan suatu titik yang berjarak sama dari garis tetap directrix dan titik tetap fokus. Sumbu parabola melewati fokus dan tegak lurus terhadap direktriks parabola. Titik potong parabola dengan sumbu disebut titik puncak parabola. Persamaan parabola Persamaan umum parabola adalah, y = 4ax β h 2 + k atau x = 4ay β k 2 + h Di mana h, k adalah titik puncak parabola. Beberapa istilah penting dan bagian parabola Fokus Fokus adalah titik tetap parabola. Direktriks Direktriks parabola adalah garis yang tegak lurus terhadap sumbu parabola. Akord Fokus Akord yang melewati fokus parabola, memotong parabola pada dua titik berbeda, disebut akord fokus. Jarak Fokus Jarak fokus adalah jarak titik x 1 , y 1 pada parabola dari fokus. Latus Rektum Rektum latus adalah akord fokus yang melewati fokus parabola dan tegak lurus terhadap sumbu parabola. Panjang latus rectum adalah LLβ = 4a. Eksentrisitas Rasio jarak suatu titik dari fokus ke jaraknya dari direktriks disebut eksentrisitas e. Untuk parabola, eksentrisitas sama dengan 1, yaitu e = 1. Parabola memiliki empat persamaan standar berdasarkan orientasi parabola dan sumbunya. Setiap parabola memiliki sumbu transversal dan sumbu terkonjugasi yang berbeda. Persamaan Parabola Parabola Rumus parameter parabola y 2 = 4ax Puncak = 0,0 Fokus = a, 0 Parabola terbuka ke sisi kanan. Persamaan sumbu adalah y = 0 Persamaan direktriksnya adalah x + a = 0 Panjang latus rektum = 4a y 2 = -4ax Puncak = 0,0 Fokus = -a, 0 Parabola terbuka ke sisi kiri. Persamaan sumbu adalah y = 0 Persamaan direktriksnya adalah x β a = 0 Panjang latus rektum = 4a x 2 = 4ay Puncak = 0,0 Fokus = 0, a Parabola terbuka ke atas. Persamaan sumbu adalah x = 0 Persamaan direktriksnya adalah y + a = 0 Panjang latus rektum = 4a x 2 = -4ay Puncak = 0,0 Fokus = 0, -a Parabola terbuka ke bawah. Persamaan sumbu adalah x = 0 Persamaan direktriksnya adalah y β a = 0 Panjang latus rektum = 4a Berikut ini adalah pengamatan yang dilakukan dari bentuk standar persamaan parabola Parabola simetris dengan porosnya. Misalnya, y 2 = 4ax simetris dengan sumbu x, sedangkan x 2 = 4ay simetris terhadap sumbu y. Jika parabola simetris terhadap sumbu x, parabola terbuka ke kanan jika koefisien x positif dan ke kiri jika koefisien x negatif. Jika parabola simetris terhadap sumbu y, maka parabola terbuka ke atas jika koefisien y positif dan ke bawah jika koefisien y negatif. Berikut ini adalah persamaan standar parabola ketika sumbu simetri sejajar dengan sumbu x atau sumbu y dan titik sudutnya tidak berada di titik asal. Persamaan Parabola Parabola Rumus parameter parabola y β k 2 = 4ax β h Puncak = h, k Fokus = h + a, k Parabola terbuka ke sisi kanan. Persamaan sumbu adalah y = k Persamaan direktriksnya adalah x = h β a Panjang latus rektum = 4a y β k 2 = -4ax β h Puncak = h, k Fokus = h β a, k Parabola terbuka ke sisi kiri. Persamaan sumbu adalah y = k Persamaan direktriksnya adalah x = h + a Panjang latus rektum = 4a x β h 2 = 4ay β k Puncak = h, k Fokus = h, k + a Parabola terbuka ke atas. Persamaan sumbu adalah x = h Persamaan direktriksnya adalah y = k β a Panjang latus rektum = 4a x β h 2 = -4ay β k Puncak = h, k Fokus = h, k β a Parabola terbuka ke bawah. Persamaan sumbu adalah x = h Persamaan direktriksnya adalah y = k + a Panjang latus rektum = 4a Penurunan persamaan parabola Misalkan P adalah titik pada parabola yang koordinatnya adalah x, y. Dari definisi parabola, jarak titik P ke titik fokus F sama dengan jarak titik yang sama P ke direktriks parabola. Sekarang, mari kita perhatikan titik X pada direktriks, yang koordinatnya adalah -a, y. Dari definisi eksentrisitas parabola, kita dapatkan e = PF/PX = 1 β PF = PX Koordinat fokusnya adalah a, 0. Sekarang, dengan menggunakan rumus jarak koordinat, kita dapat mencari jarak titik P x, y ke fokus F a, 0. PF = β[x β a 2 + y β 0 2 ] β PF = β[x β a 2 + y 2 ] ββββββ 1 Persamaan direktriksnya adalah x + a = 0. Untuk mencari jarak PX, kita menggunakan rumus jarak tegak lurus. PX = x + a/β[1 2 + 0 2 ] β PX = x +a ββββββ 2 Kita sudah tahu bahwa PF = PX. Jadi, samakan persamaan 1 dan 2. β[x β a 2 + y 2 ] = x + a Dengan, mengkuadratkan kedua sisi kita dapatkan, β [x β a 2 + y 2 ] = x + a 2 β x 2 + a 2 β 2ax + y 2 = x 2 + a 2 + 2ax β y 2 β 2ax = 2ax β y 2 = 2ax + 2ax β y 2 = 4ax Jadi, kami telah menurunkan persamaan parabola. Demikian pula, kita dapat memperoleh persamaan standar dari tiga parabola lainnya. y 2 = -4ax x 2 = 4ay x 2 = -4ay y 2 = 4ax, y 2 = -4ax, x 2 = 4ay, dan x 2 = -4ay adalah persamaan standar parabola. Contoh Soal Soal 1 Tentukan panjang latus rektum, titik fokus, dan titik sudut, jika persamaan parabolanya adalah y 2 = 12x. Penyelesaian Diberikan, Persamaan parabolanya adalah y 2 = 12x Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan bentuk standar y 2 = 4ax 4a = 12 β a = 12/4 = 3 Kami tahu itu, Latus rektum parabola = 4a = 4 3 = 12 Sekarang, fokus parabola = a, 0 = 3, 0 Puncak dari parabola yang diberikan = 0, 0 Soal 2 Temukan persamaan parabola yang simetris terhadap sumbu X, dan melalui titik -4, 5. Penyelesaian Diberikan, Parabola simetris terhadap sumbu X dan memiliki titik puncaknya di titik asal. Jadi, persamaan tersebut dapat berbentuk y 2 = 4ax atau y 2 = -4ax, yang tandanya tergantung apakah parabola terbuka ke arah kiri atau kanan. Parabola harus terbuka ke kiri karena melalui -4, 5 yang terletak di kuadran kedua. Jadi, persamaannya menjadi y 2 = -4ax Mengganti -4, 5 dalam persamaan di atas, β 5 2 = -4a-4 β 25 = 16a β a = 25/16 Oleh karena itu, persamaan parabolanya adalah y 2 = -425/16x atau 4y 2 = -25x. Soal 3 Tentukan koordinat fokus, sumbu, persamaan direktriks, dan latus rectum parabola x 2 = 16y. Penyelesaian Diberikan, Persamaan parabolanya adalah x 2 = 16y Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan bentuk standar x 2 = 4ay, 4a = 16 β a = 4 Koefisien y positif sehingga parabola terbuka ke atas. Juga, sumbu simetri berada di sepanjang sumbu Y positif. Karena itu, Titik fokus parabola adalah a, 0 = 4, 0. Persamaan direktriksnya adalah y = -a, yaitu y = -4 atau y + 4 = 0. Panjang latus rektum = 4a = 44 = 16. Soal 4 Tentukan panjang latus rektum, titik fokus, dan titik sudut jika persamaan parabolanya adalah 2x-2 2 + 16 = y. Penyelesaian Diberikan, Persamaan parabola adalah 2x-2 2 + 16 = y Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola y = ax β h 2 + k, kita dapatkan a = 2 h, k = 2, 16 Kami tahu itu, Panjang latus rectum parabola = 4a = 42 = 8 Sekarang, fokus= a, 0 = 2, 0 Sekarang, Titik Puncak = 2, 16. Soal 5 Persamaan parabola adalah x 2 β 12x + 4y β 24 = 0, kemudian tentukan titik sudut, fokus, dan direktriksnya. Penyelesaian Diberikan, Persamaan parabolanya adalah x 2 β 12x + 4y β 24 = 0 β x 2 β 12x + 36 β 36 + 4y β 24 = 0 β x β 6 2 + 4y β 60 = 0 β x β 6 2 = -4y + 15 Persamaan yang diperoleh berbentuk x β h 2 = -4ay β k -4a = -4 β a = 1 Jadi, titik puncak = h, k = 6, β 15 Fokus = h, k β a = 6, -15-1 = 6, -16 Persamaan direktriksnya adalah y = k + a β y = -15 + 1 β y = -14 β y + 14 = 0
Berikut ini adalah cara yang digunakan untuk menentukan sumbu simetri dan titik puncak/ fungsi kuadrat adalah fx = axΒ² + bx + cMenentukan sumbu simetri adalah x = -b/2aMenentukan nilai titik puncak adalah y0 = -bΒ²- 4ac/4a atau y0= -D/4aBerdasarkan Buku Guru Matematika yang diterbitkan Kemdikbud, berikut ini adalah langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadratMenentukan bentuk parabola terbuka ke atas atau ke bawahMenentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah x1,0 yang memenuhi persamaan fx1 = 0Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah 0,y1 dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaan y1 = f0Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsiContoh soal1. Diketahui fungsi kuadrat y = 2x2 + 4x - 6. Tentukan sumbu simetrinya!Jawaban= x = -b/2a= x = -4/2x2= x = -4/4 = -1Jadi, sumbu simetrinya adalah x = -12. Diketahui fungsi kuadrat y = 3x2 + 6x + 5. Tentukan titik puncaknya!JawabanTentukan sumbu simetri terlebih dahulu= x = -b/2a= x = -6/2x3= x = -6/6 = -1Jadi, sumbu simetrinya adalah x = -1Tentukan titik puncak= y0 = -bΒ²- 4ac/4a= y0 = -6Β²- 4x3x5/4x3= y0 = -36-60/12= y0 = -24/12= y0 = 2Jadi, titik puncaknya adalah -1, 2Menentukan Fungsi KuadratDi bawah ini adalah langkah selanjutnya untuk menentukan fungsi fungsi kuadrat melalui titik koordinat p, q, diperoleh fp = qJika fungsi kuadrat memotong sumbu x di p, 0 dan q, 0, fungsi kuadrat tersebut menjadi fx = ax β px β qJika fungsi kuadrat memotong sumbu y di 0, r, diperoleh f0 = rDengan mensubstitusikan nilai 0 pada fx, maka diperoleh f0 = a02 + b0 + c = c. Dengan begitu, diperoleh c = rJika fungsi kuadrat kuadrat tersebut memiliki titik puncak di s, t, diperoleh sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah garis x = sJika diketahui fungsi kuadrat tersebut melalui e, d, dengan menggunakan sifat simetri diperoleh titik koordinat yang lain hasil pencerminan koordinat e, d terhadap garis x = sContoh soal1. Suatu fungsi kuadrat fx = axΒ² - 4x + c mempunyai titik puncak di 1, 4. Tentukan nilai fx!JawabanPertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a= 1 = -b/2a= 1 = -4/2a= 1 = 2/a= a = 2Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak 1, 4 ke fungsi kuadrat fx = axΒ² - 6x + c untuk mendapatkan nilai c= 1 = 2x1Β² - 6x1 + c= 1 = 2 - 6 + c= 1 = -5 + c= 1 + 5 = c= 6 = cTerakhir, untuk menemukan nilai fx, substitusikan nilai a dan c ke dalam fx = axΒ² - 6x + c= fx = axΒ² - 6x + c= fx = 2xΒ² - 6x + 3= fx = 2xΒ² - 6x + 3Jadi, nilai fx = 2xΒ² - 6x + 32. Suatu fungsi kuadrat fx = axΒ² - 8x + c mempunyai titik puncak di 2, 3. Tentukan nilai f3!JawabanPertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a= 2 = -b/2a= 2 = -8/2a= 2 = 4/a= a = 2Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak 2, 3 ke fungsi kuadrat fx = axΒ² - 8x + c untuk mendapatkan nilai c= 2 = 2x2Β² - 8x2 + c= 2 = 8 - 16 + c= 2 = -8 + c= 10 = c= 10 = cTerakhir, untuk menemukan nilai f3, substitusikan x = 3, nilai a dan c ke dalam fx = axΒ² - 8x + c= fx = axΒ² - 8x + c= f3 = 2x3Β² - 8x3 + 10= f3 = 18 - 24 + 10= f3 = 4Jadi, nilai f3 adalah 4Demikian penjelasan dan contoh fungsi kuadrat. Selamat berlatih detikers! Simak Video "Sosok Stanve, Jago Matematika Tingkat Dunia Asal Tangerang" [GambasVideo 20detik] erd/erd
Diposting pada Agustus 17, 2022 Tentukan parabola yang terbuka ke atas dan ke bawah Jawaban Jembatan A terbuka ke bawah dan jembatan bawah B terbuka ke atas 175 total views, 1 views today Posting terkait
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu direktriks. Persamaan Parabola dengan Puncak O0,0 Perhatikan gambar berikut ini ! Keterangan β Titik O0,0 adalah titik puncak parabola β Titik Fp,0 adalah titik fokus parabola β Garis x = -p adalah garis direktriks β Sumbu X adalah sumbu simetri β L1L2 adalah lactus rectum = 4p Parabola terbuka ke kanan Contoh Diketahui peramaan parabola y2 = 16x. Tentukan koordinat puncak, koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab koordinat puncak O0,0 koordinat focus 4,0 sumbu simetri pada sumbu X, dengan persamaan y = 0 Persamaan garis direktriksnya x = -4 atau x + 4 = 0 Keterangan β Titik O0,0 adalah titik puncak parabola β Titik F-p, 0 adalah titik fokus parabola β Garis x = p adalah garis direktriks β Sumbu X adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke kiri. Untuk parabola yang puncaknya di O0,0 dan fokusnya di F0,p persamaannya adalah x2 = 4py Keterangan β Titik O0,0 adalah titik puncak parabola β Titik F0, p adalah titik fokus parabola β Garis y = -p adalah garis direktriks β Sumbu Y adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke atas. Untuk parabola yang puncaknya di O0,0 dan fokusnya di F-p,0 persamaannya adalah x2 = β 4py Keterangan β Titik O0,0 adalah titik puncak parabola β Titik F0, -p adalah titik fokus parabola β Garis y = p adalah garis direktriks β Sumbu Y adalah sumbu simetri Persamaan Parabola dengan Puncak P Perhatikan gambar berikut ini ! Keterangan Parabola terbuka ke kanan. Contoh Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya 2, 3 dan titik fokusnya 6, 3 ! Jawab Puncak 2, 3 dan focus 6, 3, maka p = 6 β 2 = 4 Persamaan parbolanya y β 2 = 4px β y β 32 = β 2 y2 β 6y + 9 = 16x β 2 y2 β 6y + 9 = 16x β 32 y2 β 6y β 16x + 41 = 0 Contoh Diketahui persamaan parabola sebagai berikut y2 + 4y β 4x + 8 = 0. Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab y2 + 4y β 4x + 8 = 0 y2 + 4y = 4x β 8 y + 22 β 4 = 4x β 8 y + 22 = 4x β 4 y + 22 = 4x β 1 = y β 2 = 4px β Berarti = -2; = 1; p = 1 Jadi, koordinat puncaknya 1, -2, koordinat fokusnya + p, = 2, -2, persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya x = β p. x = 1 β 1 = 0 Grafiknya Keterangan
parabola berikut yang terbuka ke atas adalah
